焦距与视角的换算

2020-03-15 16:00:36 刘双喜 15

   假设各位了解视角的定义、焦长的定义、凸透镜成像原理,以及它们的变化对成像画面有何影响,这里只是单纯的提供视角与焦长的转换原则,简单的说:影响视角的因素,包括焦长及底片(或感光元件)的片幅大小。

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    在许多情况下,我们常将镜头视为一等效的薄凸透镜,此举可忽略很多光学设计上的细节与考量,但观念方面则是相符的。
    这张图片定义了镜心(或称光心)的位置O,焦点的位置F等,其中OF线段即焦距(focal length),而OF线段的延长线称为光轴(optical axis)。在此例中,光线由左而右穿过镜片。
平行光轴的光线将汇聚于镜后焦点,即F的位置,如下图所示: 

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    然而,底片(或感光元件)是一个平面,并不是一个点而已。其中A与B分别表示底片(或感光元件)两个端点在此侧面图的位置。 
    光线是四面八方而来的,图中的A、B两个位置也会被照顾到:

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    最后,我们整理出底下这张图片,其中CW线段与DZ线段(透镜左方的两条红线)所围出来的角度便是取景范围,即所谓视角(Angel of View)。

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公式推演
接下来是公式的推演,根据上图:
CW线段与OX线段平行,且DZ线段与OY线段平行
CW线段与DZ线段的夹角」即「OX线段与线段OY」的夹角,亦等于「OA线段与OB线段」的夹角。
让我们将夹角称为θ,OF长度(焦距)称为f,将AB的长度(片幅)称为L。

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■若已知焦距,片幅,欲计算视角:
tan(θ/2)=(L/2)/f
θ=2*atan((L/2)/f)
若已知视角,片幅,欲计算焦距:
tan(θ/2)=(L/2)/f
f=(L/2)/tan(θ/2)
以上公式都是利用已知的两项条件,去计算第三项数据这里补充对L(片幅)的说明,以135相机的片幅为例:

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虽然可以代入36mm与24mm而分别计算水平视角或垂直视角,但如果没有特别说明,我们通常以最大视角为准,即代入对焦线长度43.27mm。
计算实例
■50mm的焦距在135相机(底片对角长度约43.27mm)上的视角:

θ=2*atan((L/2)/f)=2*atan((43.27/2)/50=46.8°

■50mm的焦距在佳能EOS10D/300D(感光元件对角线长度约27.26毫米)的视角:

θ=2*atan((L/2)/f)=2*atan((27.26/2)/50)=30.5

■反推,视角30.5°的镜头在135相机(底片对角长度约43.27mm)上的焦距:

f=(L/2)/tan(θ/2)=(43.27/2)/tan(30.5°/2)=79.36mm

■在刚开始的薄透镜图中‥
焦平面位于焦点位置,很显然的,这表示对焦于无限远的时候,
也因此被对焦物的光线才会以平行的形式进入镜头,此时最利于后续的公式推导。
对焦位置不在无限远怎么办?还是可以推导公式,但几何作图会变得相当复杂,必须加入像距的考量。
■关于焦长转换率‥

在最后两个计算实例中,我们得知50mm镜头接在D30/D60/10D/300D机身上面时,视角为30.5 °,
30.5°在135相机上约是80mm镜头的视角,故所谓1.6X焦长转换率来自于此。
焦长转换率是经等效视角所求得,但从另一个角度看,根据公式:

θ=2*atan((L1/2)/f1)=2*atan((L2/2)/f2)=L1/f1=L2/f2=L1/L2=f1/f2

换句话说,焦长转换率其实就是对角线长度的比值。
这项原理让我们在计算焦长转换率时不需代入视角的值,而直接用两种片幅的对角线长度去计算,
不过要记得它们仍然是从等效视角的换算而推导出来的。

43.27mm/27.26mm=1.59≈1.6


一般消费型数位相机可能加挂广角或增距镜,外挂镜头所标示的倍率同上原则;
或者,不妨加挂镜头拍一张,不加镜头拍一张,求成像的边长比例,亦可得该外挂镜头所造成的倍率变化。
■对应图‥


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注:这个公式是有局限性的,只适合于透视投影镜头,中长焦的可以使用,因为在小视角下各投影方程误差太小了。相反,在大视角下不适用,因为在大视角下不同投影方法大不一样,此时这个公式只能用于畸变控制很好的广角镜头。对于鱼眼镜头,都使用等距投影法,这样实际焦距比你用上面的算出来的小得多。比如,220°鱼眼是6mm,如果用上面的公式算,都是负的焦距。

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